Ce este consonanța?

În nota anterioară, am aflat cum funcționează sunetul. Să repetăm ​​această formulă:

SUNET = TONUL DE SOL + TOATE MULTIPLE OVERTONS

În plus, pe măsură ce japonezii admiră florile de cireș, vom admira și graficul răspunsului în frecvență – caracteristica amplitudine-frecvență a sunetului (Fig. 1):

Amintiți-vă că axa orizontală reprezintă înălțimea (frecvența de oscilație), iar axa verticală reprezintă volumul (amplitudinea).

Fiecare linie verticală este o armonică, prima armonică este de obicei numită fundamentală. Armonicile sunt aranjate după cum urmează: a doua armonică este de 2 ori mai mare decât tonul fundamental, a treia este trei, a patra este de patru și așa mai departe.

De dragul conciziei, în loc de „frecvență narmonica” vom spune pur și simplu „na-a armonică”, iar în loc de „frecvență fundamentală” – „frecvența sunetului”.

Deci, privind răspunsul în frecvență, nu ne va fi dificil să răspundem la întrebarea, ce este consonanța.

Cum se numără până la infinit?

Consonanța înseamnă literalmente „co-sunet”, sunet comun. Cum pot suna două sunete diferite împreună?

Să le desenăm pe aceeași diagramă unul sub celălalt (Fig. 2):

Iată răspunsul: unele dintre armonici pot coincide în frecvență. Este logic să presupunem că cu cât frecvențele de potrivire sunt mai multe, cu atât sunetele „comune” au mai multe și, în consecință, cu atât mai multă consonanță în sunetul unui astfel de interval. Pentru a fi complet precis, este important nu doar numărul de armonici care se potrivesc, ci și ce proporție dintre toate armonicile care sună se potrivește, adică raportul dintre numărul de potriviri și numărul total de armonici care sună.

Obținem cea mai simplă formulă pentru calcularea consonanței:

Unde N_sovp este numărul de armonici care se potrivesc,  N_comun este numărul total de armonici de sunet (numărul de frecvențe diferite de sunet) și contra și este consonanța noastră dorită. Pentru a fi corect din punct de vedere matematic, este mai bine să numiți cantitatea o măsură a consonanței frecvenței.

Ei bine, problema este mică: trebuie să calculezi N_sovp и N_comun, împărțiți unul la altul și obțineți rezultatul dorit.

Singura problemă este că atât numărul total de armonici, cât și chiar numărul de armonici care se potrivesc este infinit.

Ce se întâmplă dacă împărțim infinitul la infinit?

Să schimbăm scara diagramei anterioare, „depărtați-vă” de ea (Fig. 3)

Vedem că armonicile care se potrivesc apar din nou și din nou. Imaginea se repetă (fig. 4).

Această repetare ne va ajuta.

Ne este suficient să calculăm raportul (1) într-unul dintre dreptunghiurile punctate (de exemplu, în primul), apoi, din cauza repetărilor și pe întreaga linie, acest raport va rămâne același.

Pentru simplitate, frecvența tonului fundamental al primului sunet (inferior) va fi considerată egală cu unitatea, iar frecvența tonului fundamental al celui de-al doilea sunet va fi scrisă ca o fracțiune ireductibilă.  .

Să remarcăm între paranteze că în sistemele muzicale, de regulă, sunt folosite tocmai sunetele, al căror raport de frecvențe este exprimat printr-o anumită fracțiune.  . De exemplu, intervalul unei cincimi este raportul  , litri –  , triton -   etc

Să calculăm raportul (1) în interiorul primului dreptunghi (Fig. 4).

Este destul de ușor să numărați numărul de armonici care se potrivesc. Formal, sunt două dintre ele, unul aparține sunetului inferior, al doilea – superior, în Fig. 4 sunt marcate cu roșu. Dar ambele armonice sună la aceeași frecvență, respectiv, dacă numărăm numărul de frecvențe potrivite, atunci va exista o singură astfel de frecvență.

Care este numărul total de frecvențe de sunet?

Să ne certăm așa.

Toate armonicile sunetului inferior sunt aranjate în numere întregi (1, 2, 3 etc.). De îndată ce orice armonică a sunetului de sus este un număr întreg, va coincide cu una dintre armonicile de jos. Toate armonicile sunetului superior sunt multipli ai tonului fundamental , deci frecvența n-a armonică va fi egală cu:

adică va fi un număr întreg (din moment ce m este un număr întreg). Aceasta înseamnă că sunetul superior din dreptunghi are armonici de la primul (ton fundamental) până la n-Oh, deci, sunet n frecvențe.

Deoarece toate armonicile sunetului inferior sunt situate în numere întregi și conform (3), prima coincidență are loc la frecvență m, se dovedește că sunetul inferior din interiorul dreptunghiului va da m frecvențele de sunet.

Trebuie remarcat faptul că frecvența care coincide m am numărat din nou de două ori: când am numărat frecvențele sunetului superior și când am numărat frecvențele sunetului inferior. Dar, de fapt, frecvența este una și pentru răspunsul corect, va trebui să scădem o frecvență „în plus”.

Totalul tuturor frecvențelor de sunet din interiorul dreptunghiului va fi:

Înlocuind (2) și (4) în formula (1), obținem o expresie simplă pentru calcularea consonanței:

Pentru a sublinia consonanța a căror sunete am calculat, puteți indica aceste sunete între paranteze contra:

Folosind o formulă atât de simplă, puteți calcula consonanța oricărui interval.

Și acum să luăm în considerare câteva proprietăți ale consonanței frecvenței și exemple de calcul a acesteia.

Proprietăți și exemple

Mai întâi, să calculăm consonanțele pentru cele mai simple intervale și să ne asigurăm că formula (6) „funcționează”.

Ce interval este cel mai simplu?

Cu siguranta prima. Două note sună la unison. Pe o diagramă va arăta astfel:

Vedem că absolut toate frecvențele de sunet coincid. Prin urmare, consonanța trebuie să fie egală cu:

Acum să înlocuim raportul cu unison  în formula (6), obținem:

Calculul coincide cu răspunsul „intuitiv”, care este de așteptat.

Să luăm un alt exemplu în care răspunsul intuitiv este la fel de evident – ​​octava.

Într-o octavă, sunetul superior este de 2 ori mai mare decât cel inferior (în funcție de frecvența tonului fundamental), respectiv, pe grafic va arăta astfel:

Din grafic se poate observa că fiecare a doua armonică coincide, iar răspunsul intuitiv este: consonanța este de 50%.

Să o calculăm prin formula (6):

Și din nou, valoarea calculată este egală cu „intuitiv”.

Dacă luăm nota ca sunet inferior la și trasați pe grafic valoarea consonanței pentru toate intervalele din octava (intervale simple), obținem următoarea imagine:

Cele mai înalte măsuri de consonanță sunt în octava, a cincea și a patra. S-au referit istoric la consonanțe „perfecte”. Terimile minore și majore, iar a șasea minoră și majoră sunt puțin mai mici, aceste intervale fiind considerate consonanțe „imperfecte”. Restul intervalelor au un grad mai mic de consonanță, în mod tradițional aparțin grupului disonanțelor.

Acum listăm câteva proprietăți ale măsurării consonanței frecvenței, care provin din formula de calcul a acesteia:

1. Cu cât raportul este mai complex  (cu cât număr este mai mare m и n), cu atât intervalul este mai puțin consoan.

И m и n în formula (6) sunt la numitor, prin urmare, pe măsură ce aceste numere cresc, măsura consonanței scade.

2. Consonanța ascendentă a intervalului este egală cu consonanța descendentă a intervalului.

Pentru a obține un interval în jos în loc de un interval în sus, avem nevoie de raport   schimba m и n. Dar în formula (6), absolut nimic nu se va schimba de la o astfel de înlocuire.

3. Măsura consonanței de frecvență a unui interval nu depinde de ce notă îl construim.

Dacă mutați ambele note cu același interval în sus sau în jos (de exemplu, construiți o cincime nu dintr-o notă la, dar din notă re), apoi raportul  între note nu se va schimba și, în consecință, măsura consonanței frecvenței va rămâne aceeași.

Am putea da și alte proprietăți de consonanță, dar deocamdată ne vom restrânge la acestea.

Fizica si versuri

Figura 7 ne oferă o idee despre cum funcționează consonanța. Dar oare așa percepem cu adevărat consonanța intervalelor? Există oameni cărora nu le plac consonanțele perfecte, dar cele mai disonante armonii par plăcute?

Da, astfel de oameni cu siguranță există. Și pentru a explica acest lucru, ar trebui să se distingă două concepte: consonanta fizica и consonanta perceputa.

Tot ceea ce am luat în considerare în acest articol are de-a face cu consonanța fizică. Pentru a-l calcula, trebuie să știți cum funcționează sunetul și cum se adună diferite vibrații. Consonanța fizică oferă premisele pentru consonanța percepută, dar nu o determină 100%.

Consonanța percepută este determinată foarte simplu. O persoană este întrebată dacă îi place această consonanță. Dacă da, atunci pentru el este consonanța; daca nu, este disonanta. Dacă i se dau două intervale pentru comparație, atunci putem spune că unul dintre ele i se va părea persoanei în momentul de față mai consonantă, celălalt mai puțin.

Poate fi calculată consonanța percepută? Chiar dacă presupunem că este posibil, atunci acest calcul va fi catastrofal complicat, va include încă o infinitate – infinitul unei persoane: experiența sa, caracteristicile auditive și abilitățile creierului. Acest infinit nu este atât de ușor de gestionat.

Cu toate acestea, cercetările în acest domeniu sunt în desfășurare. În special, compozitorul Ivan Soshinsky, care oferă cu amabilitate materiale audio pentru aceste note, a dezvoltat un program cu ajutorul căruia puteți construi o hartă individuală a percepției consonanțelor pentru fiecare persoană. În prezent este în curs de dezvoltare site-ul mu-theory.info, unde oricine poate fi testat și poate afla caracteristicile auzului său.

Și totuși, dacă există o consonanță percepută și diferă de cea fizică, ce rost are să o calculăm pe aceasta din urmă? Putem reformula această întrebare într-un mod mai constructiv: cum se leagă aceste două concepte?

Studiile arată că corelația dintre consonanța medie percepută și consonanța fizică este de ordinul a 80%. Aceasta înseamnă că fiecare persoană poate avea propriile caracteristici individuale, dar fizica sunetului aduce o contribuție covârșitoare la definirea consonanței.

Desigur, cercetarea științifică în acest domeniu este încă la început. Și ca structură a sunetului, am luat un model relativ simplu de armonici multiple, iar calculul consonanței a fost folosit cel mai simplu – frecvența și nu a ținut cont de particularitățile activității creierului în procesarea semnalului sonor. Dar faptul că chiar și în cadrul unor astfel de simplificări s-a obținut un grad foarte ridicat de corelare între teorie și experiment este foarte încurajator și stimulează cercetările ulterioare.

Aplicarea metodei științifice în domeniul armoniei muzicale nu se limitează la calculul consonanței, dă și rezultate mai interesante.

De exemplu, cu ajutorul metodei științifice, armonia muzicală poate fi reprezentată grafic, vizualizată. Vom vorbi despre cum să facem asta data viitoare.

Autor – Roman Oleinikov